Los ordinales infinitos ω y ω2

TEOREMA.- Los ordinales $\omega$ y $\omega +\omega =\omega 2$ no son el mismo tipo de orden; pero son equipotentes (equivalentes).

Demostración.-

Equipotencia. Como

$\omega =\left\{0,1,2,3,\dots \right\}$

y

$\omega 2=\left\{0,1,2,3,\dots ;\omega ,\omega +1,\omega +2,\omega +3,\dots \right\}$

y la aplicación $f:\omega \to \omega 2$, definida por:

$\begin{array}{c}f\left(2n\right)=\omega +n, n<\omega \\ f\left(2n+1\right)=n, n<\omega \end{array}$

es una biyección entre $\omega$ y $\omega 2$, se tiene que $\overline{\omega }=\overline{\omega 2}$.

Distinto tipo de orden.

Supongamos que $\omega \simeq \omega 2$ (similaridad). Entonces existe una aplicación biyectiva $g:\omega 2\to \omega$, tal que si $\alpha <\beta$ en el orden de $\omega 2$, entonces $g\left(\alpha \right)<g\left(\beta \right)$ en el orden de $\omega$. Y esto para cada par de ordinales distintos $\alpha ,\beta \in \omega 2$.

Sea $g\left(\omega \right)=n<\omega$. Entonces el segmento propio del conjunto de los números naturales

${\mathrm{\mathbb{N}}}_n=\left\{m\in \omega :m<n\right\}=\left\{0,1,2,\dots ,n-1\right\}$

por la supuesta similaridad entre $\omega$ y $\omega 2$ es tal que $\left\{g\left(k\right):k<\omega \right\}\subset {\mathrm{\mathbb{N}}}_n$, lo que es imposible: por ser $g$ biyectiva, ${\mathrm{\mathbb{N}}}_n$ un conjunto finito y $\left\{g\left(k\right):k<\omega \right\}$ un conjunto infinito. Q.E.D.

Lo que se verifica es que $\overline{\omega }=\overline{\omega 2}={\aleph }_0$, aunque $\omega <\omega 2$.

También se cumple que

$\omega <\omega +1<\omega +2<\cdots <\omega 2<\cdots <\omega 3<\cdots <{\omega }^2<\cdots <{\omega }^3<\cdots <{\omega }^{\omega }<\cdots <{\omega }^{{\omega }^{\omega }}<\cdots <{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{⋰}}}={}^{\omega }\omega ={\epsilon }_0<{\omega }_1<{\omega }_2<\cdots <{\omega }_{\omega }<{\omega }_{{\omega }_{\omega }}<\cdots <{\omega }_{{\omega }_{{\omega }_{\ddots }}}<\cdots$

y

$$\begin{gathered} \overline{\omega }=\overline{\omega +1}=\overline{\omega +2}=\cdots =\overline{\omega 2}=\cdots =\overline{\omega 3}=\cdots =\overline{{\omega }^2}=\cdots =\overline{{\omega }^3}=\cdots =\overline{{\omega }^{\omega }}=\cdots \\ =\overline{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}}=\cdots =\overline{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{⋰}}}}=\overline{{}^{\omega }\omega }=\overline{{\epsilon }_0}={\aleph }_0 \end{gathered}$$

Como demostraremos en entradas posteriores.
El número ordinal ${\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{⋰}}}={}^{\omega }\omega ={\epsilon }_0$, que en la notación de Ackermann (${}^{\omega }\omega$) se lee "$\omega$ tetrado a $\omega$" (es decir $\omega$ elevado a $\omega$ elevado a $\omega$...-una infinidad numerable de veces), es el menor ordinal $\epsilon$ que verifica: $\epsilon ={\omega }^{\epsilon }$, y es un gran ordinal.

Para darnos cuenta de la magnitud (dentro de lo infinito) de ${}^{\omega }\omega$, en lugar de $\omega$ pongamos algunos números naturales pequeños. Por ejemplo:

${}^{2}2=4$
${}^{3}3=7625597484987$

Pero ya

${}^{4}4$
tiene

8072304726028225379382630397085399030071367921738743031867082828418414481568309149198911814701229483451981557574771156496457238535299087481244990261351117
dígitos decimales.

${}^{5}5=5^{5^n}$

donde

n =
1911012597945477520356404559703964599198081048990094337139512789246520530242615803012059386519739850265586440155794462235359212788673806972288410146915986602087961896757195701839281660338047611225975533626101001482651123413147768252411493094447176965282756285196737514395357542479093219206641883011787169122552421070050709064674382870851449950256586194461543183511379849133691779928127433840431549236855526783596374102105331546031353725325748636909159778690328266459182983815230286936572873691422648131291743762136325730321645282979486862576245362218017673224940567642819360078720713837072355305446356153946401185348493792719514594505508232749221605848912910945189959948686199543147666938013037176163592594479746164220050885079469804487133205133160739134230540198872570038329801246050197013467397175909027389493923817315786996845899794781068042822436093783946335265422815704302832442385515082316490967285712171708123232790481817268327510112746782317410985888683708522000711733492253913322300756147180429007527677793352306200618286012455254243061006894805446584704820650982664319360960388736258510747074340636286976576702699258649953557976318173902550891331223294743930343956161328334072831663498258145226862004307799084688103804187368324800903873596212919633602583120781673673742533322879296907205490595621406888825991244581842379597863476484315673760923625090371511798941424262270220066286486867868710182980872802560693101949280830825044198424796792058908817112327192301455582916746795197430548026404646854002733993860798594465961501752586965811447568510041568687730903712482535343839285397598749458497050038225012489284001826590056251286187629938044407340142347062055785305325034918189589707199305662188512963187501743535960282201038211616048545121039313312256332260766436236688296850208839496142830484739113991669622649948563685234712873294796680884509405893951104650944137909502276545653133018670633521323028460519434381399810561400652595300731790772711065783494174642684720956134647327748584238274899668755052504394218232191357223054066715373374248543645663782045701654593218154053548393614250664498585403307466468541890148134347714650315037954175778622811776585876941680908203125.

La expansión decimal de ${}^{5}5$ no cabe en el Universo, aunque notáramos a cada partícula fundamental con un dígito de la expansión decimal de ${}^{5}5$.

Y, sin embargo, para todo número natural $n$, por grande que sea, se cumple que ${}^{n}n<\omega$.