La independencia condicional de sucesos y la paradoja de Simpson (I)

Definición I.0.- Sean $\left(\Omega ,\mathrm{\mathbb{P}}\right)$ un espacio de probabilidad y A,B,C tres sucesos en él. Se dice que A y B son independientes condicionalmente a C si se verifica que

$\mathrm{\mathbb{P}}(A\cap B|C)=\mathrm{\mathbb{P}}(A\left|C\right)\mathrm{\mathbb{P}}\left(B\right|C)$

Proposición I.1.- En las condiciones de la Definición anterior, si A y B son sucesos independientes condicionalmente a C, entonces se cumple que

$$\begin{gathered} \mathrm{\mathbb{P}}\left(A\right|B\cap C)=\mathrm{\mathbb{P}}(A\left|C\right) \\ ,\mathrm{\mathbb{P}}\left(B\right|A\cap C)=\mathrm{\mathbb{P}}(B\left|C\right) \end{gathered}$$
Demostración.- Se demuestra la primera igualdad, y la segunda se deduce por simetría.

$\mathrm{\mathbb{P}}\left(A\right|B\cap C)=\frac{\mathrm{\mathbb{P}}(A\cap B\cap C)}{\mathrm{\mathbb{P}}(B\cap C)}=\frac{\mathrm{\mathbb{P}}(A\cap B|C\left)\mathrm{\mathbb{P}}\right(C)}{\mathrm{\mathbb{P}}\left(B\right|C\left)\mathrm{\mathbb{P}}\right(C)}=\frac{\mathrm{\mathbb{P}}\left(A\right|C\left)\mathrm{\mathbb{P}}\right(B\left|C\right)\mathrm{\mathbb{P}}\left(C\right)}{\mathrm{\mathbb{P}}\left(B\right|C\left)\mathrm{\mathbb{P}}\right(C)}=\mathrm{\mathbb{P}}(A\left|C\right)$
supuesto que $\mathrm{\mathbb{P}}\left(B\right|C)$ y $\mathrm{\mathbb{P}}\left(C\right)$ son no nulos. Q.E.D.

El concepto de independencia condicional transcribe la noción de independencia en el espacio de probabilidad $\left(\Omega ,\mathrm{\mathbb{P}}(·|C\right))$, obtenido al condicionar por el suceso C. Así, la independencia condicional a C expresa que, si se sabe que C ha ocurrido, la aparición de B no modifica la probabilidad de A, y viceversa.

Más aún: Los sucesos A y B pueden ser condicionalmente independientes, tanto a C como a C^c y no ser independientes. Es decir, pueden cumplirse simultáneamente las condiciones:

$\mathrm{\mathbb{P}}\left(A\right|B\cap C)=\mathrm{\mathbb{P}}(A\left|C\right),\mathrm{\mathbb{P}}\left(A\right|B\cap C^c)=\mathrm{\mathbb{P}}(A\left|C^c\right), \mathrm{y\; no\; darse} \mathrm{\mathbb{P}}\left(A\right|B)=\mathrm{\mathbb{P}}(A)$

Ello parece contrario a la intuición. Si, cuando se sabe que C ha ocurrido, B no aporta ninguna información sobre A, y tampoco lo hace cuando se sabe que C no ha ocurrido (ha ocurrido su suceso contrario: C^c), parece que podría concluirse que B no aporta información sobre A. Esto no es necesariamente así, y lo demostraremos en la segunda parte.