La independencia condicional de sucesos y la paradoja de Simpson (II)

Teorema II.1.- En las condiciones da la Definición I.0 dos sucesos A y B pueden ser condicionalmente independientes a C y no ser independientes.

Demostración.- Consideremos una población compuesta de dos urnas, I y II (consideradas como subpoblaciones), con la siguiente composición:

Urna I: 2/3 de bolas negras, de las cuales 1/4 están marcadas (con un punto blanco, por ejemplo); 1/3 de bolas blancas, de las cuales 1/4 están marcadas (con un punto negro, por ejemplo).
Urna II: 1/2 de bolas negras, de las cuales 1/10 están marcadas; 1/2 de bolas blancas, de las cuales 1/10 están marcadas.

Se selecciona una urna al azar (probabilidad 1/2, para cada urna), y de ella se extrae al azar una bola (todas con igual probabilidad), observando su color y si está marcada.
Sean los sucesos

M: "La bola seleccionada está marcada".
B: "La bola seleccionada es blanca".
N: "La bola seleccionada es negra".

(a) Los sucesos B y M son condicionalmente independientes, tanto a la urna I como a la urna II. E igualmente ocurre con los sucesos N y M.

En efecto
$\mathrm{\mathbb{P}}\left(M\right|B\cap I)=\frac{1}{4}$
$\mathrm{\mathbb{P}}\left(M\right|I)=\mathrm{\mathbb{P}}(N\left|I\right)\mathrm{\mathbb{P}}(M|N\cap I)+\mathrm{\mathbb{P}}\left(B\right|I\left)\mathrm{\mathbb{P}}\right(M|B\cap I) =\frac{2}{3}\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$

$\mathrm{\mathbb{P}}\left(M\right|B\cap II)=\frac{1}{10}$
$\mathrm{\mathbb{P}}\left(M\right|II)=\mathrm{\mathbb{P}}(N\left|II\right)\mathrm{\mathbb{P}}\left(M\right|N\cap II)+\mathrm{\mathbb{P}}(B\left|II\right)\mathrm{\mathbb{P}}\left(M\right|B\cap II)=\frac{1}{10}$

De análoga manera se demuestra para los sucesos N y M.

(b) En la población I+II, el color de la bola y el estar marcada o no no son sucesos independientes.

En efecto.
$\mathrm{\mathbb{P}}\left(B\right)=\frac{1}{2}\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\frac{1}{2}=\frac{5}{12}$
$\mathrm{\mathbb{P}}\left(N\right)=\frac{1}{2}\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\frac{1}{10}=\frac{7}{40}$
$\mathrm{\mathbb{P}}(B\cap M)=\mathrm{\mathbb{P}}\left(I\right)\mathrm{\mathbb{P}}(B\cap M|I)+\mathrm{\mathbb{P}}(II\left)\mathrm{\mathbb{P}}\right(B\cap M\left|II\right)=\frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{10}=\frac{13}{120}$
$\mathrm{\mathbb{P}}(N\cap M)=\mathrm{\mathbb{P}}\left(I\right)\mathrm{\mathbb{P}}(B\cap M|I)+\mathrm{\mathbb{P}}(II\left)\mathrm{\mathbb{P}}\right(N\cap M\left|II\right)=\frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{10}=\frac{13}{120}$

Y como

$\mathrm{\mathbb{P}}\left(M\right|B)=\frac{\mathrm{\mathbb{P}}(M\cap B)}{\mathrm{\mathbb{P}}\left(B\right)}=\frac{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$13$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$120$}\right.}}{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$5$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$12$}\right.}}=\frac{13}{50}$
$\mathrm{\mathbb{P}}\left(M\right|N)=\frac{\mathrm{\mathbb{P}}(M\cap N)}{\mathrm{\mathbb{P}}\left(N\right)}=\frac{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$13$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$120$}\right.}}{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$7$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$40$}\right.}}=\frac{13}{21}$

y

$\mathrm{\mathbb{P}}\left(M\right)=\mathrm{\mathbb{P}}\left(I\right)\mathrm{\mathbb{P}}\left(M\right|I)+\mathrm{\mathbb{P}}(II\left)\mathrm{\mathbb{P}}\right(M\left|II\right)=\frac{1}{2}\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\frac{1}{10}=\frac{7}{40}\ne \frac{13}{50}=\mathrm{\mathbb{P}}\left(M\right|B)$
$\mathrm{\mathbb{P}}\left(M\right)=\frac{7}{40}\ne \frac{13}{21}=\mathrm{\mathbb{P}}\left(M\right|N)$

se concluye la hipótesis (b). Q.E.D..

En cualquiera de las dos urnas, los sucesos M y B son independientes, ya que la fracción de bolas marcadas entre las bolas blancas y negras es la misma. Sin embargo, en la población constituida por las dos urnas, I+II, los sucesos M y B no son independientes.