Algunos teoremas sobre reunión e intersección de conjuntos (I)

TEOREMA 1.- Si ${\left(X_{\iota }\right)}_{\iota \in I} y {\left(Y_{\iota }\right)}_{\iota \in I}$ son dos familias de conjuntos, con el mismo conjunto de índices $I$, y si $Y_{\iota }\subset X_{\iota }$ para todo $\iota \in I$, se tiene

$\underset{\iota \in I}{\cup }{Y}_{\iota }\subset \underset{\iota \in I}{\cup }{X}_{\iota }$

y si $I\ne \varnothing$

$\underset{\iota \in I}{\cap }{Y}_{\iota }\subset \underset{\iota \in I}{\cap }{X}_{\iota }$

Demostración.- Es inmediata. Q.E.D.

TEOREMA 2.- Sea ${\left(X_{\iota }\right)}_{\iota \in I}$ una familia de conjuntos tal que $I=\underset{\lambda \in L}{\cup }{J}_{\lambda }$ es la unión de una familia de conjuntos. Se tiene, entonces

$\underset{\iota \in I}{\cup }{X}_{\iota }=\underset{\lambda \in L}{\cup }\left(\underset{\iota \in J_{\lambda }}{\cup }{X}_{\iota }\right)$

y si $L\ne \varnothing$ y $J_{\lambda }\ne \varnothing$ para todo $\lambda \in L$, se cumple

$\underset{\iota \in I}{\cap }{X}_{\iota }=\underset{\lambda \in L}{\cap }\left(\underset{\iota \in J_{\lambda }}{\cap }{X}_{\iota }\right)$

Demostración.- Sea $x\in \underset{\iota \in I}{\cup }{X}_{\iota }$. Existe $\iota \in I$ tal que $x\in X_{\iota }$.
Como $I=\underset{\lambda \in L}{\cup }{J}_{\lambda }$, existe $\lambda \in L$ tal que $\iota \in J_{\lambda }$, con $x\in X_{\iota }$; luego $x\in \underset{\iota \in J_{\lambda }}{\cup }{X}_{\iota }$ y, por lo tanto, $x\in \underset{\lambda \in L}{\cup }\left(\underset{\iota \in J_{\lambda }}{\cup }{X}_{\iota }\right)$.

Supongamos ahora que $x\in \underset{\lambda \in L}{\cup }\left(\underset{\iota \in J_{\lambda }}{\cup }{X}_{\iota }\right)$. Existe $\lambda \in L$ tal que $x\in \underset{\iota \in J_{\lambda }}{\cup }{X}_{\iota }$; luego existe $\iota \in J_{\lambda }$ tal que $x\in X_{\iota }$ y, por lo tanto, $x\in \underset{\iota \in I}{\cup }{X}_{\iota }$.

Supongamos ahora que $L\ne \varnothing$ y $J_{\lambda }\ne \varnothing$ para cada $\lambda \in L$; entonces $I\ne \varnothing$.
Sea $x\in \underset{\iota \in I}{\cap }{X}_{\iota }$. Si $\lambda \in L$, se tiene $x\in X_{\iota }$ para todo $\iota \in J_{\lambda }$ (pues $J_{\lambda }\subset I$), de donde $x\in \underset{\iota \in J_{\lambda }}{\cap }{X}_{\iota }$; y como esto es verdadero para todo $\lambda \in L$, se concluye que $x\in \underset{\lambda \in L}{\cap }\left(\underset{\iota \in J_{\lambda }}{\cap }{X}_{\iota }\right)$.
Sea, recíprocamente, $x\in \underset{\lambda \in L}{\cap }\left(\underset{\iota \in J_{\lambda }}{\cap }{X}_{\iota }\right)$ y $\iota \in I$ cualquiera. Existe $\lambda \in L$ tal que $\iota \in J_{\lambda }$; puesto que $x\in \underset{\iota \in J_{\lambda }}{\cap }{X}_{\iota }$, se tiene que $x\in X_{\iota }$. Esto es verdadero para cada $\iota \in I$, luego $x\in \underset{\iota \in I}{\cap }{X}_{\iota }$. Q.E.D.

Para las familias de las partes de un conjunto, la segunda parte del teorema anterior es válida sin las restricciones $I\ne \varnothing$ y $J_{\lambda }\ne \varnothing$ para todo $\lambda \in L$.

Imágenes de una reunión y de una intersección.

TEOREMA 3.- Sea ${\left(X_{\iota }\right)}_{\iota \in I}$ una familia de partes de un conjunto $A$ y $\Gamma$ una correspondencia entre $A$ y $B$.
Se tiene, entonces

y



Demostración.-



Luego la primera fórmula queda demostrada.

$\begin{array}{c}\forall \iota \in I \underset{\iota \in I}{\cap }{X}_{\iota }\subset X_{\iota }\end{array}$
de donde . Luego . Q.E.D.

Para $\Gamma$ una correspondencia cualquiera, la fórmula es el general falsa.

TEOREMA 4.- Sea $f$ una aplicación de $A$ en $B$, y ${\left(X_{\iota }\right)}_{\iota \in I}$ una familia de partes de $B$. Se tiene entonces



Demostración.-

(i)



(ii)



Q.E.D.

COROLARIO.- Si $\begin{array}{c}f\end{array}$ es una inyección de $\begin{array}{c}A\end{array}$ en $\begin{array}{c}B\end{array}$ y si ${\left(X_{\iota }\right)}_{\iota \in I}$ es una familia de partes de $A$ tal que $I\ne \varnothing$, se tiene



Demostración.- es un caso particular del teorema 3.



Q.E.D.