Números Cardinales (II)

TEOREMA 1.- El conjunto de los números reales no es enumerable.

Demostración.-

Supongamos lo contrario para el intervalo cerrado unidad del conjunto de números reales: $[0,1]$. Entonces, cada punto de dicho intervalo puede ser expresado de manera única (en base 10) mediante una sucesión de dígitos del 0 al 9, detrás de la coma (o punto decimal), suponiendo que las sucesiones de dígitos en las que, a partir de un cierto término, todos son iguales a 9, representan el mismo número real de dicho intervalo, pero con el dígito anterior al primer 9 de la sucesión aumentado en una unidad y el resto de dígitos siguientes todos 0. Ejemplo:

$0.1376499999999...=0.1376500000000...$

Además:

$0=0.00000000\cdots , 1=0.99999999\cdots$

Así podemos poner en sucesión numerable todos los números reales del intervalo $[0,1]$, mediante la siguiente tabla:

$\begin{array}{c}{a}_0=0.{\mathit{a}}_{\mathbf{00}}{a}_{01}{a}_{02}\cdots a_{0n}\cdots \\ a_1=0.a_{10}{\mathit{a}}_{\mathbf{11}}{a}_{12}\cdots a_{1n}\cdots \\ a_2=0.a_{20}{a}_{21}{\mathit{a}}_{\mathbf{22}}\cdots a_{2n}\cdots \\ a_3=0.a_{30}{a}_{31}{a}_{32}\cdots a_{3n}\cdots \\ ⋮\end{array}$

En esta tabla, cada fila representa a uno de los términos de la sucesión, en su expansión decimal, significando el primer subíndice $i$ el término citado y el segundo subíndice $j$ el $j$-ésimo dígito de la expansión decimal del $i$-ésimo término.

Construyamos ahora un número real del intervalo $[0,1]$ que no figure en la tabla, con lo que habremos incurrido en una contradicción.

Sea $b=0.b_{00}{b}_{11}{b}_{22}\cdots b_{nn}\cdots ,$ definido de la forma siguiente:

Para cada $i$, $b_{ii}=1$, si $a_{ii}=0$ y $b_{ii}=0$ si $a_{ii}\ne 0$.

Claramente, el número $b$ pertenece al intervalo $[0,1]$, y difiere, en su primera cifra decimal, de $a_0$; en su segunda cifra decimal, de $a_1$; en su tercera cifra decimal, de $a_2$; y, en general, en su $(n+1)$-ésima cifra decimal, de $a_n$. En consecuencia, $b$ no es ninguno de los números de la sucesión, lo que contradice la hipótesis. Q.E.D.

TEOREMA 2.- Sean $A,B,A_1,B_1$ conjuntos tales que $A{}_{ef}\stackrel{\phi }{~}{A}_1 y B{}_{ef}\stackrel{\psi }{~}{B}_1$; entonces $A^B{}_{ef}~{A_1}^{B_1}$.

Demostración.- Sea la aplicación $\Phi :A^B\to {A_1}^{B_1}$ y el diagrama:

$\begin{array}{ccc}B& \stackrel{f}{\to }& A\\ \psi \downarrow & & \downarrow \phi \\ B_1& \stackrel{f\text{'}}{\to }& A_1\end{array}$

de tal forma que, si $f\in A^B$, entonces $f\text{'}=\Phi \left(f\right)=\phi \circ f\circ {\psi }^{-1}\in {A_1}^{B_1}$.
La aplicación $\Phi$ es biyectiva. En efecto.

Inyectividad.

Sean $f_1,f_2\in A^B$ tales que $f_1\ne f_2$. Entonces existe un $b\in B$ tal que $f_1\left(b\right)\ne f_2\left(b\right)$.
Por ser $\psi$ biyectiva (luego serlo también su inversa: ${\psi }^{-1}$), existe un único $a\in B_1$ para el que se cumple ${\psi }^{-1}\left(a\right)=b$; luego

$f_1\left({\psi }^{-1}\left(a\right)\right)\ne f_2\left({\psi }^{-1}\left(a\right)\right) (*)$

y como $\phi$ es biyectiva (luego inyectiva), de (*) se obtiene que $\phi \circ f_1\circ {\psi }^{-1}$ es inyectiva.

Sobreyectividad.

Sea $f\text{'}\in {A_1}^{B_1}$; entonces la aplicación $f={\phi }^{-1}\circ f\text{'}\circ \psi \in A^B$, es tal que $\Phi \left(f\right)=f\text{'}$. Q.E.D.