Números Cardinales (I)

Introducción.

Dividimos los conjuntos en clases asignando dos conjuntos a la misma clase si y solo si son equivalentes. La relación de equivalencia, igualdad, equipotencia o potencia está definida como aquella que existe entre dos conjuntos para los que se puede establecer una aplicación biyectiva.
Los símbolos que sirven para denotar esas clases se llaman números cardinales.

DEFINICIÓN 1.- Dos conjuntos $A,B$ son equivalentes (lo que se denota mediante la expresión $A~B$) si y solo si existe una biyección entre $A$ y $B$.

DEFINICIÓN 2.- Dos conjuntos $A,B$ son efectivamente equivalentes (lo que se denota mediante la expresión $A{}_{ef}~B$) si y solo si se ha dado una aplicación biyectiva entre $A$ y $B$.

Como es inmediato demostrar, la equivalencia efectiva implica la equivalencia.

Tarski define el número cardinal o la potencia de un conjunto $A$ como la clase de equivalencia de todos los conjuntos $X$ tales que $X~A$.
Russell y Whitehead consideran a un número cardinal como la clase de todos los conjuntos equivalentes (o de la misma potencia que) un conjunto dado.
Otros autores entienden por número cardinal o potencia del conjunto $A$ al propio conjunto $A$ y cualquier conjunto equivalente a él.
Otros matemáticos, como Mostowski, restringen el concepto de número cardinal a una familia $F$ de conjuntos, particionada en clases de equivalencia (clases de la misma potencia). Pero esta definición es dependiente de la particular familia $F$ de conjuntos elegida.

Alfred Tarski, en otra obra, introduce los números cardinales por medio de axiomas:

1. Cualquier conjunto está asociado con un objeto el cual es su número cardinal.
2. Dos conjuntos son equivalentes (de la misma potencia) si y solo si les corresponde el mismo número cardinal.

Si $M$ es un conjunto dado y $\mathfrak{m}$ el número cardinal que sirve para denotar la clase de los conjuntos equivalentes a $M$ (clase a la que $M$ pertenece), entonces decimos que el conjunto $M$ es de potencia $\mathfrak{m}$, y escribimos:

$\overline{\overline{M}}=\mathfrak{m}$

y

$\mathfrak{m}=\text{Card}M$

Por lo tanto, conjuntos equivalentes (de la misma potencia) tienen el mismo número cardinal, y viceversa.
Como para conjuntos finitos el concepto de conjuntos equivalentes es sinónimo de conjuntos con el mismo número de elementos, es más simple y conveniente adoptar los números naturales como los respectivos símbolos de los números cardinales finitos, y entonces para un conjunto finito con $n$ elementos, el número $n$ denota al cardinal de dicho conjunto.
De esta forma, los números naturales son un caso particular de los números cardinales. Como el número cardinal del conjunto vacío adoptamos el símbolo $0$.

El número cardinal correspondiente a conjuntos enumerables es denotado, desde Cantor, por el símbolo ${\aleph }_0$ (álef cero), y el número cardinal correspondiente a conjuntos de la potencia del continuo es denotado por la letra gótica $\mathfrak{c}$.

Suma de números cardinales.

Sean $M,N$ dos conjuntos cuyos números cardinales son, respectivamente, $\mathfrak{m},\mathfrak{n}$. Si $M,N$ no son disjuntos, podemos elegir los conjuntos $M\text{'}=\left\{(m,1):m\in M\right\}$, con $M\text{'}~M$, y $N\text{'}=\left\{(n,2):n\in N\right\}$, con $N\text{'}~N$.
Definimos la suma de $\mathfrak{m}$ y $\mathfrak{n}$, $\mathfrak{s}$, como el cardinal del conjunto suma, unión o reunión de $M$ y $N$:

$\overline{\overline{M+N}}=\overline{\overline{M}}+\overline{\overline{N}}=\mathfrak{m}+\mathfrak{n}=\mathfrak{s}$

En lo que sigue supondremos que los componentes de la suma de dos o más conjuntos son disjuntos dos a dos. Es decir, que si $S=\sum _{A\in F}A$, siendo $F$ una familia de conjuntos, entonces para cualesquiera $A,B\in F$, se verifica que $AB=0$.

PROPOSICIÓN 1.- Si $M~M_1,N~N_1$, entonces $M+N~M_1+N_1$ y, por lo tanto, $\overline{\overline{M+N}}=\overline{\overline{M_1+N_1}}$.

Demostración.- Es inmediata, teniendo en cuenta que al ser $M~M_1,N~N_1$, y $MN=0,M_1{N}_1=0$, se cumple que $M+N~M_1+N_1$; luego como $\overline{\overline{M}}=\overline{\overline{M_1}},\overline{\overline{N}}=\overline{\overline{N_1}}$, se verifica, finalmente, que $\overline{\overline{M+N}}=\overline{\overline{M_1+N_1}}$.Q.E.D.

Lo que nos indica la Proposición anterior es que la suma de números cardinales está bien definida: no depende de los representantes de las respectivas clases de cada componente de la suma.

Por inducción sobre $n$, el teorema puede ser demostrado para la suma de cualquier familia finita de conjuntos $A_1,A_2,\dots ,A_n$, con $\overline{\overline{A_1}}={\mathfrak{m}}_1,\overline{\overline{A_2}}={\mathfrak{m}}_2,\dots ,\overline{\overline{A_n}}={\mathfrak{m}}_n$:

$\overline{\overline{A_1+A_2+\cdots +A_n}}=\overline{\overline{A_1}}+\overline{\overline{A_2}}+\cdots +\overline{\overline{A_n}}={\mathfrak{m}}_1+{\mathfrak{m}}_2+\cdots +{\mathfrak{m}}_n$

La asociatividad y conmutatividad de la suma de cardinales, es inmediata, pues: $(M+N)+P=M+(N+P)$, y $M+N=N+M$, cumpliéndose para cualquier familia finita de componentes de la suma. Probaremos la asociatividad.

$\overline{\overline{\left(M+N\right)+P}}=\overline{\overline{M+N}}+\overline{\overline{P}}=\left(\overline{\overline{M}}+\overline{\overline{N}}\right)+\overline{\overline{P}}=\left(\mathfrak{m}+\mathfrak{n}\right)+\mathfrak{p}$

pero

$\left(M+N\right)+P=M+\left(N+P\right)$

luego

$\overline{\overline{\left(M+N\right)+P}}=\overline{\overline{M+\left(N+P\right)}}=\overline{\overline{M}}+\overline{\overline{\left(N+P\right)}}=\overline{\overline{M}}+\left(\overline{\overline{N}}+\overline{\overline{P}}\right)=\mathfrak{m}+\left(\mathfrak{n}+\mathfrak{p}\right)$

Y de la primera y tercera ecuaciones anteriores se deduce que

$\left(\mathfrak{m}+\mathfrak{n}\right)+\mathfrak{p}=\mathfrak{m}+\left(\mathfrak{n}+\mathfrak{p}\right)$

PROPOSICIÓN 2.- ${\aleph }_0+{\aleph }_0={\aleph }_0 , {\aleph }_0+\mathfrak{c}=\mathfrak{c}, \mathfrak{c}+\mathfrak{c}=\mathfrak{c}$.

Demostración.- Sean $M=\left\{a_1,a_2,a_3,\dots \right\}, N=\left\{b_1,b_2,b_3,\dots \right\}$ dos conjuntos enumerables disjuntos. Entonces

$M+N=\left\{a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3\dots \right\}$

es también un conjunto enumerable, luego:

${\aleph }_0=\overline{\overline{M+N}}=\overline{\overline{M}}+\overline{\overline{N}}={\aleph }_0+{\aleph }_0$

Sea $P$ tal que $\overline{\overline{P}}=\mathfrak{c}$. Como $P$ es infinito (y no enumerable), contiene un subconjunto propio enumerable, $Q$. Entonces $P-Q$ no es enumerable, pues, en caso contrario, $P$ lo sería, contra la hipótesis. Luego como $P=\left(P-Q\right)+Q$, se cumple que

$\mathfrak{c}=\overline{\overline{P}}=\overline{\overline{\left(P-Q\right)+Q}}=\overline{\overline{P-Q}}+\overline{\overline{Q}}=\mathfrak{c}+{\aleph }_0={\aleph }_0+\mathfrak{c}$

Sean ahora $P_1,P_2$ dos conjuntos arbitrarios disjuntos, ambos de la potencia del continuo. Entonces podemos escribir

$P_1~[0,1[ y P_2~[1,2[$

Como

$P_1+P_2~[0,1[+[1,2[=[0,2[, y \overline{\overline{[0,2[}}=\mathfrak{c}$

se concluye (puesto que $P_1,P_2$ son conjuntos arbitrarios, cada uno de la potencia del continuo) que $\mathfrak{c}+\mathfrak{c}=\mathfrak{c}$. Q.E.D.

Por inducción sobre $n$, es fácil demostrar ahora que, para cualesquiera números cardinales ${\mathfrak{m}}_1,{\mathfrak{m}}_2,\dots ,{\mathfrak{m}}_n$, tales que ${\mathfrak{m}}_1,{\mathfrak{m}}_2,\dots ,{\mathfrak{m}}_n\in \left\{{\aleph }_0,\mathfrak{c}\right\}$:

1. Si todos los ${\mathfrak{m}}_i$ son iguales a ${\aleph }_0$, entonces la suma es ${\aleph }_0$.
2. Si todos los ${\mathfrak{m}}_i$ son iguales a $\mathfrak{c}$, entonces la suma es $\mathfrak{c}$.
3. Si algún ${\mathfrak{m}}_i$ es igual a $\mathfrak{c}$, entonces la suma es $\mathfrak{c}$.