Un sistema deductivo de la Lógica Proposicional (I)

Para representar, en un lenguaje formal general, el concepto de la lógica ordinaria de "cadena deductiva" o "razonamiento", debemos definir el concepto de "Sistema Deductivo" para un Cálculo Proposicional.

DEFINICIÓN 1. Una regla de inferencia es una función n-aria parcial $f$ de un subconjunto del conjunto de las fbfs del lenguaje del CP, $W$ en $W$: $f:\mathfrak{W}\subset W^n\to W$, tal que la imagen $f\left({\alpha }_1,...,{\alpha }_n\right)$ no depende del orden en que estén las ${\alpha }_i$, sino solamente del conjunto $\left\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\right\}$.

Si $\alpha =f\left({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\right)$, se dice que $\alpha$ es consecuencia directa de las fbfs ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ mediante la regla $f$.

EJEMPLO.- La regla Modus Ponens (MP), que es una regla de inferencia binaria del lenguaje proposicional:

$f\left(\alpha ,\alpha \to \beta \right)=\beta , f\left(\alpha ,\alpha \to \beta \right)=\beta$

O, en la notación prefijada o polaca, de la que hacemos uso aquí:

$f\left(\alpha ,C\alpha \beta \right)=f\left(C\alpha \beta ,\alpha \right)=\beta$

DEFINICIÓN 2.- Sea ahora $\mathfrak{R}$ un conjunto de reglas de inferencia y $\text{Δ}$ un conjunto de fbfs. Se llama deducción desde $\text{Δ}$ mediante $\mathfrak{R}$ a una sucesión finita de fbfs, tal que cada fbf ${\alpha }_i$ cumple una de dos:

(i) ${\alpha }_i$ es una fbf de $\text{Δ}$.
(ii) ${\alpha }_i$ es consecuencia directa de fbfs ${\alpha }_{j_1},\cdots ,{\alpha }_{j_r}$ anteriores a ${\alpha }_i$ en la sucesión, mediante una regla de $\mathfrak{R}$.

Se dice que una fbf $\phi$ es deducible de $\text{Δ}$ mediante $\mathfrak{R}$, si es el último término de una deducción desde $\text{Δ}$ mediante $\mathfrak{R}$.

DEFINICIÓN 3.- Un sistema deductivo $\mathcal{D}$ del lenguaje está formado por dos conjuntos:

(i) Un conjunto $\text{Λ}$ de fbfs llamadas axiomas de $\mathcal{D}$, que puede ser vacío.
(ii) Un conjunto $\mathfrak{R}$ de reglas de inferencia, no vacío.

Dado un conjunto $\text{Γ}$ de fbfs, diremos que una fbf $\alpha$ es un teorema de $\text{Γ}$ en $\mathcal{D}$ si es deducible de $\text{Λ}\cup \text{Γ}$ mediante $\mathfrak{R}$. esto se expresa describiendo ${\text{Γ├}}_{\mathcal{D}}\alpha$, o simplemente $\text{Γ├}\alpha$, cuando se sabe con qué sistema deductivo se opera. Las fbfs $\text{Γ}$ se suelen llamar premisas del teorema.

Si $\text{Γ}\subseteq \text{Λ}$ (todas las premisas son axiomas), se suele escribir $├\alpha$, y entonces se dice que $\alpha$ es un teorema lógico del sistema.