El sorprendente teorema de Riemann sobre series numéricas (I)

DEFINICIÓN 1.- Sea $\sum _{}{a}_n$ una serie de números reales. Se dice que $\sum _{}{a}_n$ es condicionalmente convergente si $\sum _{}{a}_n$ es convergente pero $\sum _{}\left|a_n\right|$ es divergente.

PROPOSICIÓN 1.- Sea $\sum _{}{a}_n$ una serie de números reales y sean

${\alpha }_n=\frac{a_n+\left|a_n\right|}{2}; {\beta }_n=\frac{a_n-\left|a_n\right|}{2}$, $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

Si $\sum _{}{a}_n$ es condicionalmente convergente, entonces las series $\sum _{}{\alpha }_n$ y $\sum _{}\beta n$ son divergentes.

Demostración.- Si $\sum _{}{a}_n$ es condicionalmente convergente, entonces $\sum _{}{a}_n$ es convergente y $\sum _{}\left|a_n\right|$ es divergente.
Si $\sum _{}{\alpha }_n$ fuese convergente, como ${\beta }_n=a_n-{\alpha }_n$, también sería convergente la serie $\sum _{}{\beta }_n$. Análogamente si $\sum _{}{\beta }_n$ fuese convergente. Luego si $\sum _{}{\alpha }_n$ o $\sum _{}{\beta }_n$ fuesen convergentes, entonces las dos serían convergentes, y como $\left|a_n\right|={\alpha }_n-{\beta }_n$, también sería convergente $\sum _{}\left|a_n\right|$, en contra de la hipótesis.
Q.E.D.

DEFINICIÓN 2.- Se dice que una serie $\sum _{}{b}_n$ es una reordenación de otra serie $\sum _{}{a}_n$ cuando existe una biyección $f:\mathrm{\mathbb{N}}\to \mathrm{\mathbb{N}}$ tal que

$b_n=a_{f\left(n\right)}, \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

TEOREMA DE RIEMANN.- Si $\sum _{}{a}_n$ es una serie de números reales condicionalmente convergente, entonces para cualquier número real $x$ existe una reordenación $\sum _{}{b}_n$ de $\sum _{}{a}_n$ tal que

$\sum _{}{b}_n=x$

Demostración.- Podemos suponer que los términos de la serie $\sum _{}{a}_n$ son distintos de cero. Como la serie $\sum _{}{a}_n$ es condicionalmente convergente, las dos series

$\sum _{}{\alpha }_n ,\sum _{}{\beta }_n$

son divergentes. Suprimiendo los términos nulos de cada una de ellas se obtienen las series $\sum _{}{p}_n ,\sum _{}{q}_n$, de los términos positivos y de los términos negativos de $\sum _{}{a}_n$, respectivamente, que son también divergentes.

Como $\sum _{}{p}_n$ es una serie de términos positivos divergente, existe

$N_1=mín\left\{N\in \mathrm{\mathbb{N}}:\sum _{n=1}^N{p}_n>x\right\}$

Entonces

$\sum _{n=1}^N{p}_n>x, y \sum _{n=1}^m{p}_n\le x, \forall m<N_1$

Como $\sum _{}{q}_n$ es una serie de términos negativos divergente, existe

$M_1=mín\left\{M\in \mathrm{\mathbb{N}}:\sum _{n=1}^{N_1}{p}_n+\sum _{n=1}^M{q}_n<x\right\}$

Entonces

$\sum _{n=1}^{N_1}{p}_n+\sum _{n=1}^M{q}_n<x, y \sum _{n=1}^{N_1}{p}_n+\sum _{n=1}^m{q}_n\ge x, \forall m<N_1$

Sea ahora

$N_2=mín\left\{N\in \mathrm{\mathbb{N}}:\sum _{n=1}^{N_1}{p}_n+\sum _{n=1}^{M_1}{q}_n+\sum _{n=N_1+1}^N>x\right\}$

y

$M_2=mín\left\{M\in \mathrm{\mathbb{N}}:\sum _{n=1}^{N_1}{p}_n+\sum _{n=1}^{M_1}{q}_n+\sum _{n=N_1+1}^{N_2}+\sum _{n=M_1+1}^M{q}_n<x\right\}$

Continuando este proceso, obtenemos la serie

$p_1+\cdots +p_{N_1}+q_1+\cdots +q_{M_1}+p_{N_1+1}+\cdots +p_{N_2}+q_{M_1+1}+\cdots +q_{M_2}+\cdots$

que, obviamente, es una reordenación de la serie $\sum _{}{a}_n$.

Si $\left(A_n\right)$ es la sucesión de las sumas parciales de $\sum _{}{a}_n$, entonces

$lím_{n\to \infty }{A}_n=x$

En efecto. Por construcción se verifica que

$A_1<A_2<\cdots <A_{N-1}\le x<A_{N_1} \left(1\right)$

$A_{N_1}>A_{N_1+1}>\cdots >A_{N_1+M_1-1}\ge x>A_{N_1+M_1} (1\text{'})$

$A_{N_1+M_1}<A_{N_1+M_1+1}<\cdots <A_{N_1+M_1+N_2-1}\le x<A_{N_1+M_1+N_2} \left(2\right)$

$A_{N_1+M_1+N_2}>A_{N_1+M_1+N_2+1}>\cdots >A_{N_1+M_1+N_2+M_2-1}\ge x>A_{N_1+M_1+N_2+M_2} (2\text{'})$

De (1) y (1') de deduce que

$\left|A_n-x\right|\le p_{N_1}, N_1\le n\le N_1+M_1-1$

De (1') y (2) se deduce que

$\left|A_n-x\right|\le -q_{M_1}, N_1+M_1\le n\le N_1+M_1+N_2-1$

De (2) y (2') se deduce que

$\left|A_n-x\right|\le p_{N_2}, N_1+M_1+N_2\le n\le N_1+M_1+N_2+M_2-1$

Como $\left(p_{N_k}\right) y \left(q_{N_k}\right)$ son subsucesiones de $\left(a_n\right)$ y $\sum _{}{a}_n$ es convergente, $\left(a_n\right)$ tiene por límite cero, e igualmente $\left(p_{N_k}\right) y \left(q_{N_k}\right)$. Luego $\left(A_n\right)$ tiene por límite $x$.
Q.E.D.