El Teorema de Egorov

Debido al matemático ruso Egorov, existe en Teoría de la Medida un importante teorema, el cual permite, en un espacio medida finito, que una sucesión de funciones (reales, reales ampliadas o complejas), medibles, definidas en dicho espacio y que converja puntualmente casi doquiera en él a una función, esta sucesión converja uniformemente a esa  función, en todo el espacio salvo en un subconjunto de medida arbitrariamente pequeña.

DEFINICIÓN.- Sea  $\left(X,\mathcal{A},\mu \right)$ un espacio medida. Sean $f,f_1,f_2,...,f_n,...$ funciones de $X$ en $\mathrm{ℝ},\overline{\mathrm{ℝ}},ó \mathrm{ℂ}$. Se dice que la sucesión ${\left(f_n\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$ converge a f casi por todas partes o casi por doquier en $X$, si la sucesión numérica ${\left(f_n\left(x\right)\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$ converge para cada $x\in X$, a $f\left(x\right)$, salvo para los puntos de un $A\subset X$ de medida nula. Se denota así:

$\underset{n}{lím} f_n=f, c.p.p. en X$

TEOREMA (de Egorov).- Sea $\left(X,\mathcal{A},\mu \right)$ un espacio medida; $\mu \left(X\right)<\infty$ y ${\left(f_n\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$ una sucesión de funciones reales o complejas, medibles, que converge casi por todas partes en $X$ a $f$, función real o compleja. Dado un $\epsilon >0$, existe un $B\in \mathcal{A}$ tal que $\mu \left(B\right)<\epsilon$ y ${\left(f_n\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$ converge uniformemente a $f$ en $X~B$.

Demostración.- Sea $A\in \mathcal{A}, \mu \left(A\right)=0$, y ${\left(f_n\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$ una sucesión de funciones que converge puntualmente a la función $f$ en $X~A$.

Sean $g,g_n (n\in \mathrm{\mathbb{N}})$ funciones definidas en $X$, que coinciden respectivamente, con $f,f_n (n\in \mathrm{\mathbb{N}})$, en $X~A$ y son nulas en $A$. Entonces las funciones $g_n (n\in \mathrm{\mathbb{N}})$ son medibles y la sucesión de funciones ${\left(g_n\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$ converge puntualmente en $X$ a $g$; luego $g$ es medible.

Por tanto, $\forall n,m\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$ el conjunto

$A_{nm}={\chi }_{{\left|g_m-g\right|}^{-1}\left(]-\infty ,\frac{1}{n}]\right)}$

es medible.

Sea

$B_{np}={\cap }_{m=p}^{\infty }{A}_{nm}$

$\forall n\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$, la sucesión ${\left(B_{np}\right)}_{p=1}^{\infty }$ es expansiva, pues si $p_1<p_2$:

$B_{n{p}_1}=\underset{m=p_1}{\overset{\infty }{\cap }}{A}_{nm}\subset \underset{m=p_2}{\overset{\infty }{\cap }}{A}_{nm}=B_{n{p}_2}$

Ahora, si $z\in X$, existe $q\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$ tal que:

$\left|g_m\left(z\right)-g\left(z\right)\right|<\frac{1}{n},para m\ge q$

por lo que $z\in A_{nm}, para m=q,q+1,...$, y de ahí:

$z\in B_{nq}$

En consecuencia

$X\subset {\cup }_{p=1}^{\infty }{B}_{np}$

Luego ${\cup }_{p=1}^{\infty }{B}_{np}=X$.

Por ser ${\left(B_{np}\right)}_{p=1}^{\infty }$ expansiva, la sucesión ${\left(X~B_{np}\right)}_{p=1}^{\infty }$ es contractiva, y

${\cap }_{p=1}^{\infty }\left(X~B_{np}\right)=\varnothing$

pues

${\cap }_{p=1}^{\infty }\left(X~B_{np}\right)=X~{\cup }_{p=1}^{\infty }{B}_{np}=X~X=\varnothing$

Como

$\mu \left(X~B_{n1}\right)\le \mu \left(X\right)<\infty$

resulta que

$\underset{p}{lím} \mu \left(X~B_{np}\right)=\mu \left(\varnothing \right)=0$

Para cada $n\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$, encontramos un $p_n\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$ tal que

$\mu \left(X~B_{n{p}_n}\right)<\frac{\epsilon }{2^n}$

Escribimos

$M={\cup }_{n=1}^{\infty }\left(X~B_{n{p}_n}\right), B=M\cup A$

Como

$\mu \left(B\right)\le \mu \left(M\right)+\mu \left(A\right)=\mu \left(M\right)\le \sum _{n=1}^{\infty }\mu \left(X~B_{n{p}_n}\right)<\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\epsilon }{2^n}=\epsilon$

Se cumple que $\mu \left(B\right)<\epsilon$.

Además, ${\left(f_n\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$ converge a $f$ uniformemente en $X~B$. En efecto:
dado $\alpha \in {\mathrm{ℝ}}_{+}$, hallamos $r\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$ tal que $\frac{1}{r}<\alpha$.
Sea $z\in X~B$. Entonces:

$z\notin {\cup }_{n=1}^{\infty }\left(X~B_{n{p}_n}\right)=X~{\cap }_{n=1}^{\infty }{B}_{n{p}_n}$

luego $z\in {\cap }_{n=1}^{\infty }{B}_{n{p}_n}$, y, en particular: $z\in B_{r{p}_r}$,
de donde se deduce que $z\in A_{rm}, para m\ge p_r$ y, por consiguiente

$\left|g_m\left(z\right)-g\left(z\right)\right|=\left|f_m\left(z\right)-f\left(z\right)\right|<\frac{1}{r}<\alpha , \forall m\ge p_r,\forall z\in X~B$

En consecuencia ${\left(f_n\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$ converge a $f$ uniformemente en $X~B$.
Q.E.D.