La independencia condicional de sucesos y la paradoja de Simpson (III)

También puede verificarse la proposición contraria de la Proposición II.1. En efecto.

Proposición III.1.- Dos sucesos pueden ser independientes en una población y no ser condicionalmente independientes a dos subpoblaciones, exhaustivas y mutuamente excluyentes, de la población considerada.

Demostración.- Consideremos  a bolas blancas (de las cuales 2 están marcadas) y a bolas negras (de las cuales 2 están marcadas).
Sean los sucesos

B  :  "Obtener bola blanca"
M  :  "Obtener bola marcada"

Dichos sucesos son independientes, pues

$\mathrm{\mathbb{P}}\left(M\right|B)=\frac{2}{a},\mathrm{\mathbb{P}}(M)=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}$

Distribuyamos las 2a bolas (a blancas más a negras) en dos urnas, I y II, de la siguiente manera:

I : 2 blancas marcadas + 1 blanca no marcada + 1 negra marcada + (a - 4 negras)
II : (a-3) blancas no marcadas + 1 negra marcada + 2 negras no marcadas.

Entonces:

$\mathrm{\mathbb{P}}(B\cap M|I)=\frac{2}{a},\mathrm{\mathbb{P}}(B\left|I\right)=\frac{3}{a},\mathrm{\mathbb{P}}\left(M\right|I)=\frac{3}{a}$
$\mathrm{\mathbb{P}}(B\cap M|II)=0,\mathrm{\mathbb{P}}(B\left|II\right)=\frac{a-3}{a},\mathrm{\mathbb{P}}\left(M\right|II)=\frac{1}{a}$

Luego B y M no son condicionalmente independientes ni a I ni a II. Q.E.D.

Finalmente, puede ocurrir que en cada subpoblación el suceso B influya favorablemente en A y, sin embargo, que en total de la población, B influya desfavorablemente en A. Este hecho se denomina paradoja de Simpson.

Teorema III.2 (Paradoja de Simpson).- Es posible la existencia de un espacio de probabilidad $(\Omega ,\mathrm{\mathbb{P}})$ en el que haya tres sucesos A,B y C tales que verifican simultáneamente las desigualdades

$\mathrm{\mathbb{P}}\left(A\right|B\cap C)>\mathrm{\mathbb{P}}(A\left|C\right);\mathrm{\mathbb{P}}\left(A\right|B\cap C^c)>\mathrm{\mathbb{P}}(A\left|C^c\right), y \mathrm{\mathbb{P}}\left(A\right|B)<\mathrm{\mathbb{P}}(A)$

Demostración.- Con las mismas notaciones de la Proposición anterior, sean los sucesos: A = N, B = M, C = I, C^c = II.

Entonces:

$\mathrm{\mathbb{P}}\left(N\right|M\cap I)=\frac{1}{3};\mathrm{\mathbb{P}}(N\left|I\right)=\frac{a-3}{a}$

$\mathrm{\mathbb{P}}\left(N\right|M\cap II)=1;\mathrm{\mathbb{P}}(N\left|II\right)=\frac{3}{a}$

y

$\mathrm{\mathbb{P}}\left(N\right|M)=\mathrm{\mathbb{P}}(I\left)\mathrm{\mathbb{P}}\right(N|M\cap I)+\mathrm{\mathbb{P}}\left(II\right)\mathrm{\mathbb{P}}\left(N\right|M\cap II)=\frac{1}{2}\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\frac{1}{3}=\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$

Ahora basta, para que se verifiquen las desigualdades del teorema, que

$\frac{1}{3}>\frac{a-3}{a};1>\frac{3}{a}$
El anterior sistema de inecuaciones lineales con un incógnita tiene una única solución a = 4, en el conjunto de los números naturales, pues

$\frac{1}{3}>\frac{a-3}{a}=1-\frac{3}{a}\Rightarrow -\frac{2}{3}>-\frac{3}{a}\Rightarrow \frac{2}{3}<\frac{3}{a}\Rightarrow 2a<9$
$1>\frac{3}{a}\Rightarrow 3<a$

Luego se cumplen las desigualdades del enunciado, para a = 4.

Q.E.D.